C'est la limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0. Géométriquement, c'est le coefficient directeur (pente) de la tangente à la courbe au point d'abscisse x₀.
Équation de la tangente
y = f'(x₀)·(x − x₀) + f(x₀)
La tangente en x₀ passe par le point (x₀, f(x₀)) avec la pente f'(x₀). C'est la meilleure approximation affine de f près de x₀.
Dérivées usuelles
(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ | (sin x)' = cos x | (eˣ)' = eˣ | (ln x)' = 1/x
(cos x)' = −sin x. Linéarité : (af+bg)' = af'+bg'. Composée : (f(u))' = u'·f'(u). Ces règles permettent le calcul exact de f'.
Extremum & signe de f'
f'(x₀) = 0 ⟹ x₀ candidat extremum
Si f' change de signe en x₀ : c'est un maximum (+ puis −) ou un minimum (− puis +). Là, la tangente est horizontale (pente nulle).
f'' est la dérivée de f'. Elle donne la concavité de la courbe. Un point où f'' s'annule en changeant de signe est un point d'inflexion.
🎯 Objectif
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🔧 Démarche
Calcul analytique de f', tracé de la tangente, comparaison géométrique pente ↔ nombre dérivé, étude du taux d'accroissement quand h → 0, repérage des extrema.