Uₙ converge vers L si, pour tout ε>0, il existe N tel que |Uₙ − L| < ε dès que n ≥ N. Graphiquement, la toile d'araignée « spirale » vers le point fixe.
Point fixe
f(L) = L
La limite éventuelle L d'une suite Uₙ₊₁ = f(Uₙ) vérifie f(L)=L : c'est l'intersection de la courbe y=f(x) avec la droite y=x.
Critère de convergence
|f'(L)| < 1 ⟹ point fixe attractif
Si |f'(L)| < 1, la suite converge vers L (attractif). Si |f'(L)| > 1, elle s'en éloigne (répulsif). Pour la suite géométrique f'(x)=q, d'où le critère |q|<1.
Suite géométrique
Uₙ = qⁿ·U₀ → 0 si |q| < 1
Converge vers 0 si |q|<1, constante si q=1, diverge si |q|>1. Pour q<0 elle oscille (alternée). Point fixe L=0.
Théorème des suites monotones
croissante + majorée ⟹ convergente
Toute suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) converge. La suite de Héron Uₙ₊₁=Uₙ/2+1/Uₙ converge vers √2 ≈ 1.4142.
🎯 Objectif
Étudier la convergence d'une suite par récurrence et sa toile d'araignée.