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Mouvement de Projectile

Maîtrisez la balistique, les équations horaires et la trajectoire parabolique grâce à ce guide complet et interactif.

🔬 Mécanique 📚 Terminale / L1 🇧🇯 Programme Bénin 🖥️ Simulation HTML5

📋 Table des matières

🔬 Introduction

📊 Types de tir / Cas

🧮 Formules Essentielles

🖥️ Utiliser la Simulation

🎬 Démo Interactive

🧫 Expériences à Réaliser

🎯 Quiz de Vérification

🔬

Introduction

Principe fondamental : Un projectile lancé avec une vitesse initiale v₀ sous un angle α dans un champ gravitationnel uniforme décrit une trajectoire parabolique. Son mouvement se décompose en deux mouvements indépendants : horizontal (uniforme) et vertical (uniformément accéléré).

Le mouvement de projectile est l'un des phénomènes les plus fondamentaux de la mécanique classique. Il fut étudié rigoureusement par Galilée au XVIIe siècle, qui montra que la trajectoire d'un corps lancé est une parabole. Ce résultat est au cœur de la balistique, de l'astronomie, du sport et de l'ingénierie.

🚀 Principe de superposition

Le mouvement se décompose : horizontal à vitesse constante et vertical sous l'effet de la gravité g. Les deux composantes sont indépendantes.

⚽ Applications sportives

Tir au football, lancer du javelot, saut à la perche, golf. Les athlètes optimisent l'angle de lancer pour maximiser la portée ou la hauteur.

🏹 Balistique militaire

Le calcul de la trajectoire des obus, des missiles guidés et des fusées repose sur les mêmes équations, enrichies de la résistance de l'air.

🌍 En physique spatiale

Un satellite en orbite basse est un projectile en chute libre permanente. La vitesse orbitale l'empêche de toucher le sol terrestre.

🔭 Programme Bénin

Au programme de Terminale D/C et L1 Sciences : cinématique du point matériel, mouvements composés, équations horaires vectorielles.

⚠️ Hypothèses du modèle

Sans frottement de l'air, g uniforme et constant, dimensions du projectile négligeables, champ de pesanteur uniforme.

Matériel utilisé en laboratoire

Lanceur de billes à ressort (angle réglable) et billes en acier ou plastique
Règle graduée (1 m ou 2 m) pour mesurer la portée horizontale
Rapporteur d'angle pour régler l'inclinaison du lanceur
Chronomètre ou cellule photoélectrique pour mesurer le temps de vol
Papier carbone + feuille blanche pour repérer le point d'impact
Potence et table de TP pour les tirs avec hauteur initiale h₀ > 0

📊

Types de tir / Cas possibles

Le mouvement de projectile présente plusieurs cas selon l'angle de lancer et la hauteur initiale. Chaque cas a ses propres formules et caractéristiques.

Cas	Angle α	h₀	Portée R	ymax	Application
Tir horizontal	α = 0°	h₀ > 0	v₀·√(2h₀/g)	= h₀ (décroît)	Bombe largée d'avion
Tir oblique standard	0° < α < 90°	h₀ = 0	v₀²·sin(2α)/g	h₀ + vy₀²/(2g)	Football, canon
Portée maximale	α = 45°	h₀ = 0	R_max = v₀²/g	v₀²/(4g)	Lancer optimal en balistique
Tir depuis hauteur	0° ≤ α < 90°	h₀ > 0	Calcul par discriminant	h₀ + vy₀²/(2g)	Artillerie de hauteur
Angles complémentaires	α et (90°-α)	h₀ = 0	Identique !	Différent	Symétrie sin(2α)

⚠️ Cas à ne pas confondre : Pour le tir horizontal (α = 0°), il n'y a pas de composante verticale ascendante. Le projectile descend immédiatement. La formule R = v₀²·sin(2α)/g donne R = 0, ce qui est faux : utiliser R = v₀·√(2h₀/g) obligatoirement.

La propriété des angles complémentaires est remarquable : tirer à 30° ou à 60° donne la même portée R = v₀²·sin(60°)/g = v₀²·√3/(2g). Seule la hauteur maximale diffère.

🧮

Formules Essentielles

Équations horaires de position

x(t) = v₀·cos(α)·t
y(t) = h₀ + v₀·sin(α)·t − ½·g·t²

Composantes de la vitesse

vx(t) = v₀·cos(α) [constante]
vy(t) = v₀·sin(α) − g·t

vx : composante horizontale constante (m/s) | vy : composante verticale (m/s), nulle au sommet | La norme : |v| = √(vx² + vy²)

Hauteur maximale

t* = v₀·sin(α) / g
y_max = h₀ + (v₀·sin(α))² / (2g)

Atteinte quand vy = 0. t* : temps au sommet (s). Exemple : v₀ = 40 m/s, α = 45° → y_max = 0 + (40×0,707)²/(2×9,81) ≈ 40,8 m

Portée horizontale (h₀ = 0)

R = v₀²·sin(2α) / g
R_max = v₀² / g [pour α = 45°]

R : portée (m). Maximale à 45°. Pour h₀ ≠ 0 : résoudre y(T) = 0 par discriminant : T = [vy₀ + √(vy₀² + 2g·h₀)] / g

Équation de la trajectoire (cartésienne)

y = h₀ + x·tan(α) − g·x² / (2·v₀²·cos²(α))

Obtenue en éliminant t. C'est une parabole d'axe vertical. Permet de calculer y pour tout x sans connaître t. Fondamentale en balistique.

Erreur relative (vérification TP)

ε(%) = |valeur_mesurée − valeur_théorique| / valeur_théorique × 100

Acceptable si ε < 5% (précision bonne), tolérable si 5% ≤ ε < 15% (précision moyenne), problématique si ε ≥ 15% (revoir le protocole).

Énergie cinétique du projectile

Ec(t) = ½·m·v²(t) = ½·m·(vx² + vy²(t))

m : masse (kg). Au sommet : Ec* = ½·m·vx² (minimale). À l'impact : Ec_final = ½·m·(vx² + vT²). En l'absence de frottements, l'énergie mécanique Em = Ec + Ep est conservée.

🖥️

Comment Utiliser la Simulation

Régler les paramètres physiques

Dans l'onglet ⚙️ Paramètres du panel bas, ajustez les 4 sliders : vitesse initiale v₀ (5–100 m/s), angle α (1–89°), hauteur initiale h₀ (0–50 m) et pesanteur g (1–25 m/s²). Les valeurs théoriques se mettent à jour instantanément.

💡 Commencez avec v₀ = 40 m/s, α = 45° pour observer la portée maximale.

Activer les options visuelles

Cochez ou décochez : Afficher trajectoire (courbe parabolique théorique en pointillés), Vecteurs vitesse (flèches vx en vert, vy en orange) et Grille (quadrillage métrique). Ces options restent actives pendant l'animation.

💡 Activez les vecteurs pour visualiser la décomposition horizontale/verticale.

Lancer la simulation

Cliquez sur ▶ Lancer. Le projectile (point jaune) part depuis l'origine et suit la trajectoire calculée en temps réel. La courbe cyan se trace au fur et à mesure. Utilisez ⏸ Pause pour figer l'image et analyser une position précise.

💡 Cliquez sur le canvas pendant la simulation pour faire apparaître des particules !

Lire les mesures en temps réel

L'onglet 📐 Mesures affiche : temps t (s), positions x et y (m), composantes vx et vy (m/s), norme |v| (m/s), hauteur max ymax et portée R. Toutes ces valeurs se mettent à jour 60 fois par seconde pendant l'animation.

💡 Passez vite à l'onglet Mesures juste avant l'impact pour capturer les valeurs finales.

Basculer en vue 3D réaliste

Cliquez sur le bouton 🔲 3D dans le header pour activer la vue Three.js. Un canon historique détaillé avec roues à rayons, un terrain herbeux ondulé, des arbres, des montagnes et une cible circulaire apparaissent. Le boulet vole en temps réel avec traînée et explosion à l'impact. Faites glisser pour orbiter, molette pour zoomer. Sur mobile : 1 doigt = rotation, 2 doigts = zoom pinch.

💡 Changez l'angle α en vue 3D : le canon se réoriente instantanément !

Vérifier les résultats et exporter

Après l'atterrissage, ouvrez l'onglet 📊 Résultats pour voir les badges de vérification (🟢 OK / 🟡 moyen / 🔴 erreur) comparant les valeurs simulées aux valeurs théoriques. L'onglet 📄 TP permet d'exporter un rapport TXT complet avec paramètres, formules et tableau de résultats.

💡 Le rapport TXT exporté peut servir directement de compte-rendu de TP !

🎬

Démo Interactive Canvas 2D

Visualisez la trajectoire parabolique pour différents cas de lancer. Cliquez sur un bouton pour changer de cas.

Comment lire ce graphe : L'axe horizontal représente la distance x (m), l'axe vertical représente la hauteur y (m). La courbe cyan est la trajectoire parabolique. Le point rouge marque la hauteur maximale (sommet). La ligne pointillée verticale indique la portée R. Notez que 30° et 60° donnent la même portée (angles complémentaires), mais des hauteurs maximales différentes.

🧫

Expériences à Réaliser

Ces 4 expériences sont directement réalisables dans la simulation. Saisissez les valeurs indiquées dans les sliders, lancez, puis comparez vos résultats aux valeurs attendues.

Cas de base — Portée à 45°

v₀

40 m/s

Angle α

45°

h₀

0 m

9,81 m/s²

Lancez le projectile et mesurez la portée R et la hauteur maximale ymax. C'est le cas classique de portée maximale. Vérifiez que la courbe est bien symétrique autour du sommet. Observez les vecteurs vx (constant) et vy (décroissant puis négatif).

✅ Résultats attendus

R = 163,1 m | ymax = 40,8 m | T = 5,76 s | vx = 28,28 m/s (constante) | vy₀ = 28,28 m/s

Détermination de g — Mesure par le temps de vol

v₀

30 m/s

Angle α

90° → 30°

h₀

0 m

? (mesurer)

Lancez à α = 30°. Lisez le temps de vol T dans l'onglet Mesures. Utilisez la formule g = 2·v₀·sin(α)/T pour calculer g. Comparez avec 9,81 m/s². Recommencez avec α = 60° et vérifiez la cohérence. C'est la méthode utilisée dans les vrais TP de physique !

✅ Résultats attendus

À α=30° : T = 3,06 s | g calculé = 2×30×sin(30°)/3,06 = 9,81 m/s² ✓ | R = 79,4 m

Influence de v₀ sur la portée R

v₀ (à tester)

20 / 40 / 60 m/s

Angle α

45° (fixe)

h₀

0 m

9,81 m/s²

Lancez 3 fois successivement avec v₀ = 20, 40 puis 60 m/s, l'angle fixé à 45°. Notez la portée R à chaque fois dans l'onglet Résultats. Vérifiez que R est proportionnel à v₀² (si on double v₀, R est multiplié par 4). C'est la loi du carré de la vitesse.

✅ Résultats attendus

v₀=20 m/s → R = 40,8 m | v₀=40 m/s → R = 163,1 m (×4) | v₀=60 m/s → R = 367,0 m (×9) | Ratio : 1 : 4 : 9 = 1² : 2² : 3²

Vérification — Angles complémentaires & effet de h₀

v₀

50 m/s

Angles

30° puis 60°

h₀

20 m

9,81 m/s²

Testez α = 30° puis α = 60° avec h₀ = 20 m. Comparez les portées (différentes à cause de h₀ ≠ 0) et les hauteurs maximales. Activez la trajectoire théorique pour observer la différence de forme parabolique. Puis remettez h₀ = 0 et vérifiez que les portées redeviennent identiques (loi des angles complémentaires).

✅ Résultats attendus

h₀=20m, α=30° : R = 268,5 m, ymax = 51,9 m | α=60° : R = 281,8 m, ymax = 115,4 m | h₀=0 : R identique = 220,7 m pour les deux angles ✓

🎯

Quiz de Vérification

Testez vos connaissances sur le mouvement de projectile. 4 questions, feedbacks immédiats.

Question 1 / 4

Un projectile est lancé sans frottement. Quelle composante de sa vitesse reste CONSTANTE tout au long du mouvement ?

Question 2 / 4

Un projectile est lancé avec v₀ = 20 m/s à α = 45° depuis le sol (h₀ = 0, g = 10 m/s²). Quelle est sa portée R ?

Question 3 / 4

Sur le graphe y(x) de la trajectoire, à quel endroit la vitesse verticale vy est-elle NULLE ?

Question 4 / 4

Pour un même v₀ et h₀ = 0, deux projectiles lancés à 30° et 60° ont la même portée R. Pourquoi ?

🎉

4 / 4

Félicitations, vous maîtrisez le mouvement de projectile !

🚀 Prêt à pratiquer ?

Appliquez toutes ces notions directement dans la simulation interactive avec vue 3D réaliste.

🎯 Lancer la Simulation