🔵

Pendule Simple & Pendule Conique

Comprendre, simuler et maîtriser les oscillations mécaniques — du lycée à l'université, programme Bénin / Afrique francophone.

🔭 Mécanique 📚 Terminale · L1 🇧🇯 Programme Bénin 🖥️ Simulation interactive 📄 Export rapport TP

Table des matières

1🔬 Introduction 2📊 Types de pendules 3🧮 Formules essentielles 4🖥️ Utiliser la simulation 5🎬 Démo interactive 6🧫 Expériences guidées 7🎯 Quiz de vérification

🔬

Introduction au pendule

Principe fondamental : Un pendule est un système oscillant dans lequel une masse suspendue à un fil (ou une tige) effectue des allers-retours réguliers sous l'effet de la gravité. La période de ces oscillations ne dépend que de la longueur du fil et de g — pas de la masse (isochronisme).

⏱️

Isochronisme

Pour de petites amplitudes (θ ≤ 15°), la période T est indépendante de la masse et de l'amplitude. Découverte de Galilée (1583).

📏

Longueur du fil

C'est le seul paramètre mécanique qui contrôle T. Plus le fil est long, plus les oscillations sont lentes : T ∝ √L.

🌍

Pesanteur g

La période dépend aussi de g. On peut donc mesurer g à partir de T et L : cette méthode est utilisée en géophysique.

🔴

Pendule conique

La masse tourne en cercle horizontal à vitesse constante. La période dépend uniquement de la hauteur verticale h = L·cos α.

🏗️

Applications réelles

Horloges mécaniques (Huygens, 1657), sismographes, mesure de g en géologie, gyroscopes, régulateurs de vitesse.

⚠️

Grandes amplitudes

Pour θ > 15°, l'approximation sin θ ≈ θ n'est plus valable. La période devient dépendante de l'amplitude (anharmonicité).

📌 Lien avec le programme officiel Bénin

Le pendule simple est étudié en Terminale C, D et E dans le chapitre "Oscillations mécaniques". On aborde notamment l'isochronisme des petites oscillations, la mesure de g, et l'énergie mécanique. Le pendule conique est introduit en classe de L1/DEUG comme application du mouvement circulaire uniforme.

🔧 Matériel de laboratoire utilisé

Potence métallique (support universel) + barre horizontale graduée
Fil inextensible de longueur réglable (nylon ou coton fin)
Masses marquées : 50 g, 100 g, 200 g (sphères métalliques)
Règle graduée de 1 m et rapporteur pour mesurer l'angle
Chronomètre (ou smartphone) pour mesurer la période
Équerre pour vérifier la verticalité du fil

📊

Types de pendules et cas possibles

Type	Mouvement	Formule T	Condition	Usage TP
Pendule simple petites oscillations	Plan vertical, aller-retour	T = 2π√(L/g)	θ₀ ≤ 15°	Recommandé
Pendule simple grandes amplitudes	Plan vertical, aller-retour	T ≈ 2π√(L/g)·(1+θ₀²/16)	θ₀ > 15°	À vérifier
Pendule conique	Circulaire horizontal uniforme	T = 2π√(h/g)	α fixe, θ = α	Mode spécial
Pendule amorti	Oscillations décroissantes	T ≈ 2π/√(ω₀²-γ²)	γ > 0	Simulé
Pendule de Foucault	Plan de rotation (Terre)	T_F = 24h/sinφ	φ = latitude	Hors programme

⚠️ Attention pratique : En TP, toujours écarter la masse d'un angle θ₀ ≤ 10° pour rester dans le régime linéaire. Au-delà de 15°, la formule T = 2π√(L/g) donne une erreur supérieure à 1%, ce qui peut fausser la mesure de g.

Différences clés à retenir

Dans le pendule simple, la force de rappel est tangentielle et proportionnelle à sin θ (≈ θ pour petits angles). La masse oscille dans un plan vertical. Dans le pendule conique, la masse décrit un cercle horizontal à vitesse constante — il n'y a pas d'oscillation mais un mouvement uniforme. La tension du fil assure à la fois le support du poids (composante verticale) et la force centripète (composante horizontale).

🧮

Formules essentielles

Formule 1 — Période (petites oscillations)

T = 2π · √(L / g)

T = période (s) | L = longueur du fil du pivot au centre de masse (m) | g = pesanteur locale (m/s²). Valable uniquement pour θ₀ ≤ 15°. La masse n'intervient pas.

Formule 2 — Pulsation propre

ω₀ = √(g / L) = 2π / T = 2πf

ω₀ = pulsation propre (rad/s) | f = fréquence (Hz). Exemple : L = 1 m, g = 9,81 → ω₀ = 3,13 rad/s, T = 2,01 s.

Formule 3 — Équation du mouvement

θ'' + 2γθ' + (g/L)·sin(θ) = 0

θ'' = accélération angulaire (rad/s²) | γ = coefficient d'amortissement (s⁻¹) | pour θ petit : sin θ ≈ θ et l'équation est linéaire → solution : θ(t) = θ₀·cos(ω₀t + φ).

Formule 4 — Énergie mécanique

E = ½mL²θ'² + mgL(1 − cosθ)

Ec = ½mL²θ'² (énergie cinétique) | Ep = mgL(1−cosθ) (énergie potentielle). Sans frottement, E est constante. Ec max en bas (θ=0), Ep max aux extrêmes (θ=θ₀).

Formule 5 — Tension dans le fil

T_fil = m · (g·cosθ + L·θ'²)

T_fil est maximale en bas (θ = 0) : T_fil = m(g + Lω₀²θ₀²/2). Elle est minimale aux extrêmes : T_fil = mg·cosθ₀. Elle est toujours > mg.

Formule 6 — Pendule conique

T_con = 2π√(h/g) = 2π√(L·cosα / g)

h = L·cosα = hauteur verticale (m) | r = L·sinα = rayon de la trajectoire circulaire (m) | α = angle du fil avec la verticale. La vitesse de rotation : ω = √(g/h) rad/s.

Formule 7 — Correction grandes amplitudes

T = 2π√(L/g) · (1 + θ₀²/16 + 11θ₀⁴/3072 + …)

θ₀ en radians. Pour θ₀ = 30° (0,524 rad) : correction ≈ 1,7%. Pour θ₀ = 45° : correction ≈ 4%. Négligeable en dessous de 15°.

Formule 8 — Mesure de g à partir de T

g = 4π²·L / T²

Méthode expérimentale : mesurer T pour plusieurs longueurs L, tracer T² = f(L) → droite de pente 4π²/g. L'incertitude relative : Δg/g = √[(ΔL/L)² + (2ΔT/T)²].

🖥️

Comment utiliser la simulation

Choisir le mode de pendule

Dans le header, cliquez sur 🔵 Simple ou 🔴 Conique. Le canvas change instantanément pour afficher les objets correspondants : potence, règle graduée et masse adaptés à chaque mode.

💡 Commencer par le mode Simple pour comprendre les bases

Régler les paramètres physiques

Dans l'onglet ⚙️ Paramètres, ajustez la longueur L (0,2 → 2 m), la masse (10 → 500 g), l'amplitude θ₀ (1° → 45°) et la pesanteur g (utile pour simuler la Lune ou Mars). Chaque slider met à jour le canvas en temps réel.

💡 Rester sous 15° pour rester dans le régime isochronique

Lancer et observer l'animation

Cliquez ▶ Lancer pour démarrer. Vous voyez la sphère métallique se balancer avec le fil blanc réaliste. Le chronomètre en haut à droite affiche le temps, la période calculée et le nombre d'oscillations complètes en direct.

💡 Activer les forces pour voir les flèches P (poids) et T (tension)

Lire les mesures en temps réel

L'onglet 📐 Mesures affiche toutes les grandeurs calculées : T, ω₀, f, θ(t), énergie cinétique, potentielle et totale, tension du fil, nombre d'oscillations. Ces valeurs se mettent à jour 60 fois par seconde.

💡 Observer l'échange Ec ↔ Ep : Ec max quand θ = 0, Ep max aux extrêmes

Vérifier les lois et résultats

L'onglet 📊 Résultats compare les valeurs calculées aux valeurs théoriques avec des badges colorés : vert si l'écart < 5%, jaune si 5–15%, rouge si > 15%. L'onglet 📚 Lois rappelle chaque formule avec son explication.

💡 Vérifier que ω₀ = √(g/L) correspond bien à la valeur simulée

Exporter le rapport TP

Dans l'onglet 📄 TP, lisez le protocole auto-généré avec vos paramètres, puis cliquez 💾 Exporter rapport TXT. Un fichier texte complet est téléchargé avec les paramètres, formules, protocole et tableau de résultats à remplir.

💡 Sur mobile : maintenir le doigt sur la masse pour voir les valeurs au toucher

📱 Sur mobile : 1 doigt sur le canvas = sonde / interaction | 2 doigts = zoom pinch. Le chronomètre overlay reste toujours visible. L'interface s'adapte automatiquement aux petits écrans.

🎬

Démo Interactive — Graphes

Explorez les courbes physiques du pendule. Chaque bouton affiche un cas différent. Ces graphes sont calculés avec les vraies équations.

Comment lire ces courbes : Bouton 1 : θ(t) est une sinusoïde de période T = 2π√(L/g). | Bouton 2 : l'énergie cinétique (bleu) et potentielle (orange) s'échangent parfaitement, leur somme reste constante (vert). | Bouton 3 : le pendule conique donne un angle θ constant (rotation uniforme). | Bouton 4 : la droite T² = (4π²/g)·L permet de mesurer g graphiquement.

🧫

Expériences guidées à réaliser

Mesure de la période — cas de base

Longueur L

1.00 m

Masse m

100 g

Amplitude θ₀

10.0°

Frottement γ

0.010

9.81 m/s²

Régler ces paramètres dans la simulation (onglet ⚙️), lancer et attendre 5 oscillations complètes. Noter le temps affiché dans le chronomètre et calculer T = t / nombre d'oscillations. Comparer avec la valeur théorique.

Résultats attendus

T_théorique = 2.006 s | ω₀ = 3.132 rad/s | f = 0.499 Hz. Erreur acceptable en TP : < 3%.

Détermination de g — méthode graphique

L (essai 1)

0.25 m

L (essai 2)

0.50 m

L (essai 3)

1.00 m

L (essai 4)

1.50 m

θ₀ fixe

10.0°

Pour chaque valeur de L, mesurer T en comptant 20 oscillations. Construire le tableau L vs T² et tracer la droite T² = (4π²/g)·L. La pente de cette droite vaut 4π²/g, ce qui permet de calculer g. C'est la démo du bouton 4 !

Résultats attendus (g = 9.81 m/s²)

L=0.25 m → T²=1.007 s² | L=0.50 m → T²=2.013 s² | L=1.00 m → T²=4.026 s² | L=1.50 m → T²=6.039 s². Pente = 4.026 s²/m → g = 4π²/4.026 ≈ 9.80 m/s².

Influence de l'amplitude — test de l'isochronisme

L fixe

1.00 m

m fixe

100 g

θ₀ essai 1

5.0°

θ₀ essai 2

15.0°

θ₀ essai 3

30.0°

θ₀ essai 4

45.0°

Changer uniquement θ₀ pour les quatre essais. Observer si T change significativement. Pour les petits angles, T doit rester quasi-constant (isochronisme). Pour 30° et 45°, une légère augmentation de T doit apparaître — c'est l'anharmonicité.

Résultats attendus

5° → T≈2.006s | 15° → T≈2.006s (+0.1%) | 30° → T≈2.041s (+1.8%) | 45° → T≈2.092s (+4.3%). L'isochronisme est confirmé pour θ ≤ 15°.

Pendule conique — vérification de T = 2π√(h/g)

Longueur L

1.00 m

Masse m

100 g

Angle α

20.0°

Mode

Conique

Passer en mode 🔴 Conique. Régler L = 1 m et θ₀ = 20°. Calculer h = L·cos(20°) = 0,940 m et r = L·sin(20°) = 0,342 m. La simulation affiche ces valeurs dans les mesures. Comparer T simulé avec T = 2π√(h/g).

Résultats attendus

h = 0.940 m | r = 0.342 m | T = 2π√(0.940/9.81) = 1.943 s | ω = √(g/h) = 3.233 rad/s. Tension du fil : T_fil = m·g/cosα = 1.043 N.

🎯

Quiz de vérification

Répondez aux 4 questions pour tester votre compréhension. Une seule réponse par question. Votre score apparaît à la fin.

Question 1 / 4

Un pendule simple de longueur L = 1 m oscille sur Terre (g = 9,81 m/s²). Quelle est sa période approximative ?

✅ Exact ! T = 2π√(1/9.81) = 2,006 s ≈ 2,01 s. ❌ Non. Appliquer T = 2π√(L/g) = 2π√(1/9.81) = 2,006 s.

Question 2 / 4

L'isochronisme du pendule simple (petites oscillations) signifie que la période T est indépendante :

✅ Parfait ! T = 2π√(L/g) ne contient ni m ni θ₀ : T est indépendante de la masse et de l'amplitude (pour θ₀ ≤ 15°). ❌ Non. T = 2π√(L/g) depend de L et g, mais pas de la masse m ni de l'amplitude θ₀ (isochronisme).

Question 3 / 4

Dans un pendule conique de longueur L = 0,8 m et d'angle α = 30°, quelle est la hauteur verticale h ?

✅ Correct ! h = L·cos(α) = 0,8 × cos(30°) = 0,8 × 0,866 = 0,693 m. ❌ Non. h = L·cos(α) = 0,8 × cos(30°) = 0,8 × 0,866 = 0,693 m.

Question 4 / 4

En traçant T² en fonction de L pour un pendule simple, on obtient une droite. Que représente la pente de cette droite ?

✅ Excellent ! T² = (4π²/g)·L donc la pente vaut 4π²/g. On en déduit g = 4π²/pente. ❌ Non. De T = 2π√(L/g) on tire T² = (4π²/g)·L. La pente du graphe T² = f(L) est donc 4π²/g.

🏆

4 / 4

Excellent ! Vous maîtrisez le pendule.

🚀 Prêt à simuler ?

Lancez la simulation interactive avec objets réels de laboratoire et vérifiez toutes ces lois en temps réel.

🚀 Lancer la Simulation