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Champ Magnétique autour d'un Fil Rectiligne

Comprendre, calculer et visualiser le champ magnétique créé par un courant électrique — loi de Biot-Savart, règle de la main droite, applications réelles.

⚡ Électromagnétisme 🎓 Terminale / L1 🇧🇯 Programme Bénin 🖥️ Simulation interactive
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Introduction — Le Champ Magnétique d'un Fil

Principe fondamental : Tout courant électrique crée autour de lui un champ magnétique. Pour un fil rectiligne infini parcouru par un courant I, ce champ forme des cercles concentriques autour du fil, dont l'intensité décroît en 1/r avec la distance r.

Le champ magnétique est l'une des manifestations de la force électromagnétique, l'une des quatre forces fondamentales de la nature. Sa découverte par Hans Christian Ørsted en 1820 — qui observa qu'une boussole se dévie près d'un fil parcouru par un courant — a révolutionné la physique et donné naissance à l'électrotechnique moderne.

🔭 Définition

Le champ magnétique B est une grandeur vectorielle qui décrit l'influence magnétique en un point de l'espace. Unité SI : le Tesla (T). On utilise souvent le µT (10⁻⁶ T) ou le mT (10⁻³ T).

🧲 Source du champ

Les charges en mouvement (courant électrique) créent un champ magnétique. Plus l'intensité I est grande, plus le champ est intense. Le champ est proportionnel à I.

📏 Distance r

Le champ est inversement proportionnel à la distance r du fil. Si on double r, B est divisé par 2. C'est la relation hyperbolique B = k/r.

🌀 Géométrie

Les lignes de champ sont des cercles concentriques autour du fil. Le sens est donné par la règle de la main droite (ou du tire-bouchon).

⚙️ Applications

Moteurs électriques, transformateurs, IRM médicaux, capteurs de Hall, relais magnétiques, détecteurs de métaux, câbles haute tension, rails électriques.

📚 Programme Bénin

Cette notion est au programme de Terminale C, D et Licence 1 (Physique). Elle précède l'étude des solénoïdes, des forces de Laplace et de l'induction électromagnétique.

🔧 Matériel utilisé en laboratoire

⚡ Alimentation CC

Alimentation courant continu réglable 0–20 A, tension 0–30 V. Permet de faire varier I avec précision.

📡 Teslamètre

Instrument de mesure du champ magnétique à sonde à effet Hall transverse. Résolution : 0,01 µT. Plage : 0–200 mT.

🔌 Ampèremètre

Ampèremètre à shunt pour mesurer I. Se branche en série dans le circuit. Shunt 20 A pour les forts courants.

📐 Règle & support

Règle graduée pour mesurer r précisément. Support isolant pour maintenir le fil rectiligne et vertical.

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Types et Cas Possibles

Le champ magnétique d'un fil se manifeste différemment selon la géométrie, l'intensité du courant et la distance. Voici les configurations fondamentales :

Configuration Formule B Lignes de champ Cas d'usage Niveau
Fil infini
Idéalisation		 B = µ₀I / 2πr Cercles concentriques infinis Calculs théoriques, r ≪ longueur fil Terminale
Fil fini
Cas réel		 B = µ₀I(sinα₁+sinα₂) / 4πr Arcs de cercle tronqués Câbles de longueur finie, calculs précis L1 Physique
Deux fils parallèles
courants identiques		 B_tot = 2 × µ₀I / 2πr Renforcement entre fils Câbles bifilaires, rails de Laplace L1 Physique
Deux fils parallèles
courants opposés		 B_tot = 0 à l'extérieur Annulation à l'extérieur Câbles coaxiaux, blindage magnétique Avancé
Solénoïde (N spires) B = µ₀nI (n = N/L) Parallèles à l'axe interne Électroaimants, inductances, IRM Terminale+
Spire circulaire
Centre de la spire		 B = µ₀I / 2R Perpendiculaires au plan Antennes, bobines Helmholtz L1 Physique
⚠️ Attention pratique : La formule du fil infini (B = µ₀I/2πr) n'est valide que si la distance r est très petite devant la longueur du fil. En TP, vérifiez que r ≤ L/10 pour utiliser cette approximation.

📈 Courant fort (I > 10 A)

Champ mesurable facilement au teslamètre. Attention à l'échauffement du fil. Utiliser un fil de section adaptée (≥ 2,5 mm²).

📉 Courant faible (I < 1 A)

Champ très faible (nT), difficile à mesurer. Des perturbations du champ terrestre (50 µT) peuvent masquer le signal.

🔄 Courant alternatif (AC)

Le champ oscille à la fréquence du courant (50 Hz en France/Bénin). L'amplitude reste régie par la même loi B = µ₀I/2πr.

🚫 À éviter

Ne jamais court-circuiter l'alimentation. Ne pas placer d'objets ferromagnétiques (clés, outils) près du fil lors d'une mesure de B.

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🧮

Formules Essentielles

Loi de Biot-Savart — Fil rectiligne infini
B = (µ₀ × I) / (2π × r)
B : champ magnétique en Tesla (T) — µ₀ : perméabilité du vide = 4π × 10⁻⁷ T·m/A — I : intensité du courant en Ampères (A) — r : distance au fil en mètres (m). Cette loi montre que B est proportionnel à I et inversement proportionnel à r.
Valeur numérique de µ₀
µ₀ = 4π × 10⁻⁷ ≈ 1,2566 × 10⁻⁶ T·m·A⁻¹
La perméabilité magnétique du vide µ₀ est une constante fondamentale. Elle est exactement égale à 4π×10⁻⁷ dans le système SI. Elle intervient dans toutes les formules de magnétostatique.
Fil fini — Angle d'inclinaison α₁ et α₂
B = (µ₀ × I) / (4π × r) × (sin α₁ + sin α₂)
Pour un fil de longueur finie, α₁ et α₂ sont les angles entre la perpendiculaire au fil et les droites reliant le point de mesure aux extrémités du fil. Quand L → ∞, sin α₁ + sin α₂ → 2, et on retrouve la formule du fil infini.
Force de Laplace sur un fil conducteur
F = I × L × B × sin(θ) ou vectoriellement : d𝐅 = I d𝐋 × 𝐁
F : force en Newton (N) — L : longueur du fil en m — θ : angle entre le fil et B. Force maximale quand θ = 90° (fil perpendiculaire au champ). C'est le principe du moteur électrique.
Méthode graphique — Droite B = f(I) à r fixé
B = (µ₀ / 2πr) × I → pente = µ₀/(2πr)
En traçant B en fonction de I à r constant, on obtient une droite passant par l'origine. La pente vaut µ₀/(2πr). On peut ainsi déduire µ₀ expérimentalement : µ₀ = pente × 2πr.
Méthode graphique — Hyperbole B = f(1/r) à I fixé
B = (µ₀ × I / 2π) × (1/r) → pente = µ₀I/(2π)
En traçant B en fonction de 1/r, on obtient une droite passant par l'origine. La pente vaut µ₀I/(2π). C'est la méthode la plus précise pour vérifier la loi de Biot-Savart.
Erreur relative entre mesure et théorie
ε (%) = |B_mesuré - B_théorique| / B_théorique × 100
Permet de valider la mesure expérimentale. ε < 5% : excellent (vert). 5% ≤ ε < 15% : acceptable (jaune). ε ≥ 15% : à vérifier (rouge). Sources d'erreur : perturbations extérieures, fil non infini, mauvaise orientation de la sonde.
Flux magnétique et loi de Faraday
Φ = B · S · cos(θ) [Weber] | e = -dΦ/dt [Volt]
Le flux Φ à travers une surface S orientée d'angle θ par rapport à B. La loi de Faraday stipule qu'une variation de flux induit une force électromotrice e. Si B varie (courant variable), une tension est induite — base des transformateurs.
💡 Astuce de calcul : Pour une estimation rapide : B(µT) ≈ 0,2 × I(A) / r(cm). Exemple : I = 10 A, r = 5 cm → B ≈ 0,2 × 10 / 5 = 0,4 µT. (Valeur exacte : 0,2 µT × 10 A / 5 cm = 0,4 µT ✓)
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Comment Utiliser la Simulation

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Régler l'intensité du courant I

Dans l'onglet ⚙️ Paramètres, utilisez le slider Intensité I pour choisir une valeur entre 0,1 A et 20 A. Observez les cercles de champ qui s'intensifient (plus lumineux, plus larges) à mesure que I augmente.

💡 Conseil : Commencez avec I = 5 A pour une visualisation équilibrée
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Choisir la distance de mesure r

Le slider Distance r (0,5 à 20 cm) déplace le point de mesure sur le canvas 2D. Une ligne en pointillés jaunes et un point de mesure indiquent la distance choisie. Le boîtier teslamètre affiche B en µT en temps réel.

💡 Remarquez que doubler r divise B par 2 (loi en 1/r)
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Lancer l'animation

Cliquez sur ▶ Lancer pour démarrer l'animation. Les particules vertes se mettent à circuler sur les lignes de champ dans le sens donné par la règle de la main droite. La vitesse est contrôlée par le slider Vitesse animation.

💡 Utilisez ⏸ Pause pour figer un instant et observer les flèches
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Lire les mesures et résultats

L'onglet 📐 Mesures affiche toutes les grandeurs calculées en temps réel : B (µT), I, r, µ₀I/2π, B×r, et le chronomètre. L'onglet 📊 Résultats compare B calculé et B théorique avec badges colorés d'erreur relative.

💡 Le badge devient vert si l'erreur est < 5%
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Explorer la vue 3D

Cliquez sur le bouton 🔲 Vue 3D dans le header pour basculer vers la scène Three.js. En 3D, vous voyez le fil vertical avec ses anneaux de champ (tori) et les particules orbitant autour. Cliquer-glisser pour tourner, molette pour zoomer. Un overlay affiche B et I en direct.

📱 Sur mobile : 1 doigt = rotation, 2 doigts = zoom pinch
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Exporter le rapport de TP

Dans l'onglet 📄 TP, un protocole complet est généré automatiquement avec les paramètres choisis (I, r, B théorique, tableau de résultats). Cliquez sur 💾 Exporter rapport TXT pour télécharger le fichier et l'inclure dans votre compte-rendu.

💡 Cochez les cases de l'onglet 📊 au fur et à mesure pour valider votre TP
🔧 Interactions canvas : Cliquez sur le canvas 2D pour générer des particules visuelles. Les options Flèches de champ, Afficher B en µT et Particules mobiles sont des cases à cocher dans l'onglet Paramètres. Le bouton ↺ Reset remet tout à zéro sans perdre les paramètres.
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Démo Interactive — Courbes B = f(I) et B = f(r)

Cette démonstration trace les courbes physiques réelles de la loi de Biot-Savart. Sélectionnez un cas ci-dessous pour visualiser comment B varie en fonction de I ou de r.

📖 Comment lire ces courbes :
• Cas 1 B=f(I) : droite passant par l'origine → B est proportionnel à I. La pente = µ₀/(2πr). Plus r est petit, plus la pente est grande.
• Cas 2 B=f(r) : hyperbole décroissante → B diminue rapidement avec r. À r → 0, B → ∞ (singularité théorique).
• Cas 3 B=f(1/r) : droite passant par l'origine → preuve graphique de la loi en 1/r. Utiliser pour déduire µ₀ expérimentalement.
• Comparaison : trois courbes pour I = 5, 10, 15 A. Même forme hyperbolique, amplitudes proportionnelles à I.
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Expériences Guidées à Réaliser

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Mesure de base — Vérification de B = µ₀I/2πr

Intensité I5.0 A
Distance r5.0 cm
Nb lignes8
B théorique20.0 µT

Réglez I = 5 A et r = 5 cm dans la simulation. Lancez l'animation et relevez la valeur de B affichée dans le boîtier teslamètre sur le canvas et dans l'onglet Mesures. Comparez avec la valeur théorique calculée par la formule de Biot-Savart.

Résultats attendus

B = µ₀ × 5 / (2π × 0,05) = 4π×10⁻⁷ × 5 / (2π × 0,05) = 20,0 µT. L'erreur relative doit être inférieure à 1% (badge vert). Vérifiez que B × r = 1,0 µT·m (constante pour I = 5 A).

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Détermination de µ₀ par la méthode graphique B = f(I)

Distance r fixée10.0 cm
I de1 A
I jusqu'à20 A
Pas de I1 A

Fixez r = 10 cm. Faites varier I de 1 à 20 A par pas de 1 A en déplaçant le slider. Relevez B pour chaque valeur de I (onglet Mesures). Tracez B = f(I) sur papier millimétré. La courbe doit être une droite passant par l'origine.

Résultats attendus

Pente de la droite = µ₀/(2πr) = 4π×10⁻⁷/(2π×0,1) = 2×10⁻⁶ T/A = 2,0 µT/A. Déduire µ₀ = pente × 2πr = 4π×10⁻⁷ T·m/A. Erreur attendue : < 2%.

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Influence de la distance r — Tracer B = f(1/r)

Intensité I fixée10.0 A
r de0.5 cm
r jusqu'à20.0 cm
Nb pts15

Fixez I = 10 A. Faites varier r de 0,5 à 20 cm. Relevez B pour chaque valeur de r. Construisez un tableau avec r, B, et 1/r. Tracez B en fonction de 1/r. Déterminez la pente de la droite obtenue et vérifiez qu'elle est égale à µ₀I/(2π).

Résultats attendus

Pente = µ₀ × 10 / (2π) = 4π×10⁻⁷ × 10 / (2π) = 2×10⁻⁶ T·m = 2,0 µT·m. À r = 2 cm : B = 100 µT. À r = 10 cm : B = 20 µT. Rapport B(2cm)/B(10cm) = 5 = 10/2 ✓

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Vérification de la superposition — Invariant B × r = cte

I test 18.0 A
r test 14.0 cm
I test 212.0 A
r test 26.0 cm

Pour un I fixé, vérifiez que le produit B × r est toujours constant, quelle que soit la distance r. Puis vérifiez que pour deux configurations (I₁, r₁) et (I₂, r₂), si B₁ = B₂ alors I₁/r₁ = I₂/r₂. Cela confirme la dépendance proportionnelle en I/r de la loi de Biot-Savart.

Résultats attendus

Config 1 : B = µ₀×8/(2π×0,04) = 40,0 µT. Config 2 : B = µ₀×12/(2π×0,06) = 40,0 µT. Vérification : I₁/r₁ = 8/0,04 = 200 ; I₂/r₂ = 12/0,06 = 200 ✓. Invariant B×r = µ₀I/(2π) = 1,6 µT·m.

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Quiz de Vérification

Testez vos connaissances sur le champ magnétique d'un fil rectiligne. 4 questions, réponse immédiate, score final.

Question 1 / 4
Un fil rectiligne infini est parcouru par un courant I = 10 A. Quelle est l'expression du champ magnétique B à une distance r = 5 cm du fil ?
Question 2 / 4
On double la distance r entre le point de mesure et le fil, en maintenant I constant. Que se passe-t-il pour le champ B ?
Question 3 / 4
En traçant B en fonction de 1/r à intensité I constante, on obtient :
Question 4 / 4
La règle de la main droite (tire-bouchon) permet de déterminer :
🏆
4 / 4
Excellent ! Vous maîtrisez parfaitement le champ magnétique d'un fil.

🚀 Prêt à expérimenter ?

Lancez la simulation interactive pour visualiser en 2D et 3D le champ magnétique d'un fil rectiligne, ajuster les paramètres et exporter votre rapport de TP.

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